Integralfunktion | ohne \(\int\)

Die Graphen \(G_{I_a}\)lassen vermuten, dass \(I_a(x) = \int\limits_a^x{(t-1)dt}\) eine quadratische Funktion ist. Zur Bestätigung wollen wir \(I_a\) ohne \(\int\) darstellen.
Für \(1 < a < x\) beispielsweise ist \(I_a(x)\) die Maßzahl der Fläche eines Trapezes mit den Grundseiten der Länge \(f(a)\) und \(f(x)\) und der Höhe der Länge \(x-a\).

Drücke die Trapezfläche durch \(x\) und \(a\) aus:

\begin{align} A_{Trapez} &=\cssId{Step1}{\frac{1}{2}\cdot\left(\mbox{1. Grundseite + 2. Grundseite}\right)\cdot\mbox{Höhe}}\\ &=\cssId{Step2}{\frac{1}{2}\cdot\left(f(x)+f(a)\right)\cdot(x-a)}\\ &=\cssId{Step3}{\frac{1}{2}\cdot\left((x-1)+(a-1)\right)\cdot(x-a)}\\ &=\cssId{Step4}{\frac{1}{2}\cdot\left(x+a-2\right)\cdot(x-a)}\\ &=\cssId{Step5}{\frac{1}{2}\cdot\left(x^2-ax+ax-a^2-2x+2a\right)}\\ &=\cssId{Step6}{\left(\frac{1}{2}x^2-x\right)-\left(\frac{1}{2}a^2-a\right);}\\ \end{align}

Also gilt: $$I_a(x) = \int\limits_a^x{(t-1)dt}=\frac{1}{2}x^2-x-\underbrace{\left(\frac{1}{2}a^2-a\right)}_{\text{Konstante }C \, \in \, \mathbb{R}}$$

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erstellt von C. Wolfseher mit GeoGebra