Integralfunktion | Beweis des HDI

Der HDI besagt: $$I'_a(x)=\left(\int\limits_a^x{f(t)dt}\right)'=f(x)$$
Beweis:
Nach der Definition der Ableitung gilt: $$I'_a(x)=\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{I_a(x+h)-I_a(x)}{h}}$$ Dabei entspricht \(I_a(x+h)-I_a(x)\) dem Inhalt der rot markierten Fläche in nebenstehender Figur.
Die stetige Integrandenfunktion \(f\) hat im Intervall \([x;x+h]\) einen kleinsten Funktionswert \(m\) und einen größten Funktionswert \(M\). Für die Rechtecksflächen \(m\cdot h\) und \(M\cdot h\) gilt: $$m\cdot h\le I_a(x+h)-I_a(x)\le M\cdot h$$
Division durch \(h\) ergibt: $$m\le \frac{I_a(x+h)-I_a(x)}{h} \le M$$ Für \(h \rightarrow 0\) streben sowohl \(m\) als auch \(M\) gegen \(f(x)\). Also strebt auch der zwischen \(m\) und \(M\) eingeklemmte Differenzenquotient \(\frac{I_a(x+h)-I_a(x)}{h}\) für \(h \rightarrow 0\) gegen \(f(x)\).

Damit gilt:

$$I'_a(x)=\lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{I_a(x+h)-I_a(x)}{h}} =f(x)$$

q. e. d.

Mithilfe des HDI kann man nun Integrale ohne die Streifenmethode für Ober- und Untersumme komfortabel berechnen ...

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erstellt von C. Wolfseher mit GeoGebra