Integralfunktion | Anwendung des HDI

Mithilfe des HDI kann man nun ein Integral \(\int\limits_a^b{f(x)dx}=I_a(b)\) komfortabel (ohne Ober- und Untersumme) berechnen:

Sei \(F\) irgendeine Stammfunktion von \(f\), dann gilt $$I_a(x)=F(x)+C$$ Die Konstante \(C\) berechnet man so: $$I_a(a)=0=F(a)+C \Rightarrow C=-F(a)$$ Oben eingesetzt ergibt sich $$I_a(x)=F(x)-F(a)$$ Insbesondere gilt dann: $$I_a(b)=\int\limits_a^b{f(x)dx}=F(b)-F(a)$$

Satz zur Berechnung von Integralen

Die Funktion \(f\) sei im Intervall \([a;b]\) definiert. Ist \(F\) eine beliebige Stammfunktion von \(f\) in diesem Intervall, dann gilt: $$\int\limits_a^b{f(x)dx}=F(b)-F(a)$$

Statt \(F(b)-F(a)\) schreibt man auch \(\left[F(x)\right]_a^b\), also \(\int\limits_a^b{f(x)dx}=\left[F(x)\right]_a^b\).

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